前にどこかで書いたかもしれませんが、掃除をしてたらメモが出てきたので書いておきます。 問題: アルファベット26文字を使ってできる、(長さが有限の)単語の全体を考えます。 ある単語からいくつかの文字を取り除いて別の単語ができるとき、二つの単語は「…

任意のn次元多様体*1が、2n+1次元ユークリッド空間の閉集合として埋め込めることの証明を読みました。思ったより簡単でした。 *1:ぼくは多様体といったら第二可算公理をみたすことを仮定しています

算数の話です。数学タグをつけるかどうか悩む。 先日、次のような面白等式を知りました。 1+2 = 3 4+5+6 = 7+8 (=15) 9+10+11+12 = 13+14+15 (=42) 16+17+18+19+20 = 21+22+23+24 (=90) ... これ、すごいなーと思ったんですが、こういう式につきものの「目で…

ガロア理論の基本定理までそれなりに分かったので、具体的なガロア拡大のガロア群を求めてみよう！！と思ったんですが、これもなかなか容易ではありませんね。

ガロア理論の基本的なところを今度こそ真面目にやろうと思って、昨日から早速本を読み始めました。 数学科に行ったら一番にやりたいと思っていたのがガロア理論で、一昨年にもセミナーでやったし、去年の授業でもやったのですが、いかんせんあまり身について…

年末から少しずつ層係数コホモロジーを復習しています。 コホモロジーの難しいところのひとつに、考えている空間や関数に合わせていろいろなコホモロジーがあって、それらの間にどう関係があるのか分かりにくい、ということがあると思います。 いろいろな本…

複素解析(1) - 数学メモ的 院試前に行った複素の復習ゼミの内容をとりあえず書いてみることにしました。はてなブログ、「続きを読む」が使えないのは残念です。トップページが大変なことに。

「近傍」という言葉の定義に「開」を入れるかという話が出まして、こういうのは宗派の違いだからしょうがないのですが、ぼくは入れない派です。 なんでかというと、xの近傍、といったときにはxの近くのことだけを考えているわけですから、xから離れたところ…

S^1上の連続関数を三角関数で一様近似する話が以前セミナーで出てきて、Fourier展開して係数をうまくいじるとできるという話だったんだけど、どうやれば良いのか忘れてしまった。Stone-Weierstrassの近似定理でも(たぶん)できるんだけど。

リー群の勉強をしていますが、微分幾何が未だになにもわかっていない、というか計算が全く追えないということが分かって悲しみにくれています。どうしてこんなにも幾何に適合できないのか。。。 とりあえずやる気が尽きたのでいろいろ諦めて写経マシーンにな…

代数幾何の勉強をちょっとしました。一応読んでいるのは上野先生の本です。

アティマクこと、Atiyah-Macdonaldのintroduction to commutative algebraを読み終えました。ガチ代数は久しぶりだったので最初しんどかったのですが、慣れたら楽しくなりました。でもやっぱり自分は解析の方が好きな気がする。 かなり急速に読んだので理解…

Twitterの日用しているアカウントは消したんですけど、位相空間論の問題を出すbot(@gen_top_bot)は残していて、ちょいちょい更新したりしています。 このbotは当初の目的としては、「ほかの分野を勉強していて出てくる位相空間の議論がすらすらとできるよう…

ずっとRがT_4かどうか気になっていたんですが、調べてみたらびっくりするほどたやすく解決されてたのでメモしておきます。ってかなんでこれ知らなかったんだ。

集合と位相(3) - oculi mathematicae こちらのエントリを読んで思ったことをすこし。 集合と位相 (大学数学の入門)作者: 斎藤毅出版社/メーカー: 東京大学出版会発売日: 2009/09/01メディア: 単行本購入: 1人 クリック: 49回この商品を含むブログ (12件) を…

Tautological line bundleについてぼーっと考えました。今まで射影空間というものはユークリッド空間を貼り合わせたものとして理解しようと思っていたんですけど、それよりも定義どおり原点を通る直線をぐりぐり動かしたときの動かし方全体だと思ったほうが…

この題名正しく表示されるだろうか。

というふうにやるわけだけど*1、枠が出てくるのが邪魔くさい。これどうすればなくなるのかしらん。スタイルシートとかいじるんですかね。 (追記)デザインを変えると出なくなるようですね。ということは、よくわかっていないのはTeX記法ではないということに…

R⊂Sを1をもつ可換整域とする。Rの既約元はSでも既約といえるだろうか？ 逆は？ 今日一番分かってないなーと思ったところです。代数はもっとしっかり勉強しないといけないと思います。 あとUFDというものも良くわからない。なんか定義が難しいですね。

いっぺしろんくんがブログで紹介してくれた次の問題 「U,V⊂R^nをユークリッド空間の開集合たちとする。このときf : U→V 連続全単射が存在したとすると、この二つは同相だと言えるか？」 が謎です。

ちょっと気が向いたのと、関連する話を見かけたので、たまにはまじめに数学の記事でも。

すごく久々に環論をやったのですが、いろいろ忘れてて困りました。ネーター環上の多項式環がネーターなのって何でだか忘れてしまった。一回示したことあるのになー。なんかそれっぽい生成元をとるところまではできたのですが、実際にそれで生成されることが…

長いので収納します。

テイラーの定理がうんぬんと言っていましたが、無事に解決しました。ひとつ低いところと比べれば良かったのか。なにはともあれよかったです。 だいたいの簡単そうだけど分からないところは頭のなかを泳がせておけばそのうち解決することが多いですね。時間の…

はてなキーワードの「選択公理」のニュースのところに囚人と帽子の問題の無限人版が載っていて面白かったです。いわく： 無限人の囚人がいる。各囚人は赤か青かの帽子を被らされる。自分の帽子の色を当てるのが囚人たちの目的である。(この手のパズルの慣習…

「パラコンパクトゆえに正規なのでうんぬん」と書いてあったので調べました。 (1)Xを位相空間とする。このとき、次は同値(らしい)。 (i)Xは正規である。 (ii)Xの任意の各点有限な開被覆{U_i}に対し、ある{V_i}が存在して、すべてのiについてcl(V_i)⊆U_iをみ…

ホモロジー代数、飛ばした命題について調べていたら超限帰納法が使われていてビビる。ヤバい。順序数の話から始めないといけない気がするけど大丈夫なのかしらん。

同値関係の定義として反射律、対称律、推移律の三つがありますが、これらが成り立つ・成り立たないのパターンとして2^3=8通りが考えられますね。ではその8通りの例をすべて挙げてください。 たとえば、「≠」は対称律を満たすが反射律と推移律を満たさない場…

今日読んだ余接空間の定義について。 多様体M内の点aでのC^∞級関数の芽のうち、f(a)=0を満たすもの全体をmとする。また、mの元のうち、aにおけるすべての偏微分係数が0となるもの全体をnとおく。aにおけるMの余接空間を、商空間m/nとして定義する。 というこ…

複素的なゼミでした。なんか本の記述も丁寧じゃなかったりしてやたらと難しかったです。 やっぱり対応する代数幾何の話も勉強した方が面白いんだろうなー。うーむ。 今日のジェネトポ。X,Y,Zを位相空間とし、YはHausdorffとする。f:X→Yとg:Y→Zを連続写像とし…