河田ホモロジー代数p.265について

「パラコンパクトゆえに正規なのでうんぬん」と書いてあったので調べました。

(1)Xを位相空間とする。このとき、次は同値(らしい)。
(i)Xは正規である。
(ii)Xの任意の各点有限な開被覆{U_i}に対し、ある{V_i}が存在して、すべてのiについてcl(V_i)⊆U_iをみたす。

というのがあるようです。で、昨日書いた超限帰納法を使うらしいというところは(i)⇒(ii)だったんですが、よく考えたらこの命題を使う必要はなかった。

(2)Xをパラコンパクトハウスドルフ空間とする。このとき、次が成り立つ。
(i)Xは正則である。
(ii)Xは正規である。
(iii)Xの任意の局所有限な開被覆{U_i}に対し、ある{V_i}が存在して、すべてのiについてcl(V_i)⊆U_iをみたす。

これは割と簡単です。(iii)は松島多様体に載っている(一瞬多様体であることを使っているように見えるが回避できると思う)。(ii)も不要かもしれない。
とにかく、もとからパラコンパクトを仮定していたのでこれで十分なわけです。