Z[x]の素イデアル
この題名正しく表示されるだろうか。
去年Z[x]の素イデアルを全部決定しようと思ってできなかったんですが、可換代数をちょっと勉強して、改めて考えてみたらわりとすぐにできたのでメモしておきます。
以下、I⊂Z[x]は素イデアル、pは素数とします。
(1)I∩Zは埋め込み写像による素イデアルの引き戻しだからZの素イデアル。ゆえに、I∩Z=0または(p)。
(2)I∩Z=0の場合。
このときは、S:=Z\{0}とおく。S^-1Z[x]=Q[x]である。S^-1IはQ[x]の素イデアルとなるので、Q[x]の既約元fを用いて、S^-1I=f・Q[x]の形に表される。fを何倍かして、整数係数かつ原始的にしておく。すると、I=(f)となることがわかる*1。
(3)I∩Z=(p)の場合。
このときは、Z[x]/pZ[x]=Z/pZ[x]を考える。Iの像は素イデアルなので、Z/pZ[x]の既約元g_pで生成される。射影によりg_pに送られるZ[x]の元をgと書くと、I=(p,g)となる。
ということでうまいこと係数を体にしてあげるのが良いのでしょうかね。もっといいやり方とかあれば知りたいです。
