距離空間はT_4 - 新・無題ドキュメント＠はてな

ずっとRがT_4かどうか気になっていたんですが、調べてみたらびっくりするほどたやすく解決されてたのでメモしておきます。ってかなんでこれ知らなかったんだ。

まずはT_4の定義から。

定義位相空間 $X$ が $T_4$ 分離公理をみたすとは、任意の互いに交わらない閉集合を開集合で分離できることをいう。
すなわち、任意の閉集合 $A,B \subset X$ , $A \cap B = \empty$ に対して、ある開集合 $U,V \subset X$ が存在して、 $A \subset U$ , $B \subset V$ , $U \cap V = \empty$ をみたすことをいう。

以下、 $(X,d)$ を距離空間とします。次のような関数の存在がもっとも重要です。

補題 $X$ の部分集合 $S \subset X$ に対し、 $X$ 上の関数 $f_S$ を、 $f_S(x):=\inf\{d(x,y):y \in S\}$ によって定める。
(1) $f_S$ は連続である。
(2) $C$ を $X$ の閉集合とするとき、 $f_C(x)=0$ であることと、 $x \in C$ であることは同値である。

つまり、「 $X$ の部分集合との距離」で与えられる関数が連続関数になるわけです。

補題の証明
(1)　 $x_1,x_2 \in X$ を任意にとる。 $y \in S$ について、[tex;f_S]の定義と三角不等式より、
$f_S(x_1) \leq :d(x_1,y) \leq d(x_1,x_2) + d(x_2,y)$
である。右辺の下限をとって、
$f_S(x_1) \leq d(x_1,x_2) + f_S(x_2)$
である。 $x_1$ と $x_2$ を逆にして同じことを行うと、
$|f_S(x_1)-f_S(x_2)| \leq d(x_1,x_2)$
をえる。したがって、 $f_S$ は連続である。
(2) $(\Leftarrow)$ は明らか。 $(\Rightarrow)$ は開集合の定義からしたがう。

で、この関数を使って次を示します。

定理距離空間 $(X,d)$ は $T_4$ である。

証明はじめに書いた $T_4$ の定義どおりに $A,B \subset X$ をとる。まえの補題の記号をつかって、
$f:=\frac{f_A}{f_A+f_B}$
により $X$ 上の関数 $f$ を定める。このとき、 $f$ は連続であり、
$f|_A = 0$
$f|_B = 1$
をみたす。そこで、
[tex: U := f^{-1}*1]
[tex: V := f^{-1}*2]
とおけばよい*3。