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いっぺしろんくんがブログで紹介してくれた次の問題
「U,V⊂R^nをユークリッド空間の開集合たちとする。このときf : U→V　連続全単射が存在したとすると、この二つは同相だと言えるか？」
が謎です。

簡単な議論ではうまくいかないようです。たとえば閉写像であることを言おうとしてUをコンパクト集合で内側から近似しても、Vに送ると閉集合の(可算個の)ユニオンになってしまうのでうまくいきません。
反例もすぐには思い付かなくて、あったとしてもなにか病的な例になるのではないかと思います。うーん。