ベクトル束がようやくわかるようになりました。いっぺしろん君が言っていたはり合わせかたを自分で試してみて、どういうものなのか大分わかった。なんにせよ手を動かして確かめることは大切なのだなぁ、と再確認する次第です(今さらである(でもすこし賢しく…

Weierstrassの定理を読んでいます。 無限積がわかってないことがわかりました。ほとばしる今更感。解析関数のΠf_nが解析関数になるかもよくわかってなくて、f_nが0をとらないときに積も0をとらないとかそういうのも謎です。ちょっと考えればわかると思うので…

C^∞級1の分割をやらなくてはいけません。こういうことがパッとできないのは修行が足りない感じであれだなー。

Mittag-Lefflerの定理を読みました*1。極の場所と主要部を与えるとそれをみたすような有理形関数を作ってくれます。いい話だ。 しかもこれを使うと、「Ω上の有理形関数の層を、Ω上の解析関数の層で割った剰余前層が層になる」ということが証明できます。解析…

まぁヘルマンダー(Thm.1.3.1)なんですが。あまりジェネラルな感じではない。 ΩをCの開集合とする。K⊆Ωをコンパクト集合とする。さらに、Ω＼Kの連結成分Oであって、OがΩ内で相対コンパクト(すなわち、OのΩ内での閉包がコンパクト)であるものが存在するとする…

HormanderのAn Introduction to Complex Analysis in Several Variablesを読んでいます。まだぜんぜん序盤です。 一瞬で「解析関数の微分は解析的」にたどり着いてるーすげー、って思ったのですが、よく見ると解析関数の仮定にC^1級というのが入っているから…

・ab=eをみたすがba=eをみたさない元a,bが存在するモノイドの例。長いし合ってるか怪しい。もっと良い例があったら教えてください。 二つの文字x,yを用意し、これを有限個(0個も認める)並べたものを語とよぶ。語の全体をWとかく。Wは、二つの語A,Bに対して、…

微分形式が面白くなってきました。当然のことですが、新しい概念が出てくるたびに簡単な例を使って計算してみるのは大切ですね。

微分形式を勉強しはじめました。東大出版会の坪井先生のやつです。 定義を体になじませながら読んでいけばそれほど難しくないのではないか、って気がしています。

Pontryagin dualityをやり始めました。すごい人とのセミナーで気後れしていたのですが、日取りが決まったとたんにやる気が出てきました。いったんやると決めることが重要なのでしょうねぇ。 しかし位相群は面白い対象ですね。双対性というのもとてもよい話だ…

例の留数積分を解かされました。いや結局ちゃんと解けてないんですが。注意力に欠ける人間があのような積分を行うのはひどく難しいことだと思います。修行が足りない。 R^n→Rの凸関数の連続性を示せたと思ったらできていませんでした。うーむ。

虹色くんに出題された積分の問題。恥ずかしながらできなかった。 ∫_[-1,1] 1/{(1+x^2)√(1-x^2)}dx TeX記法使わないと分かりにくいですね…。 もちろん留数計算なのですが一筋縄ではいきません。やり方は教えてもらいましたがまだ計算していないです。そのうち…

そろそろ本格的に数学タグを使い始めようかと思いました。とはいえ雑記が数学になるだけなのですが。 テンソル積の右完全性の、随伴関手を使った証明を教えてもらいました。Homの左完全性を復習しておきたいです。 微分形式がよく分かりません。悲しい。 色…

ここのところゼミで発表する機会が続けて何回かありました。そこで色々と改善すべき点を感じたので、備忘録として書いておきます。まぁ自分がそう思ったというだけで、これが常にあてはまることだとは限らないわけですが、とにかく無益ということではないで…

今日やったことを書くと意識高い！ primary idealの性質を考えていました。でもやっぱりいまいちわからんなぁ。PIDなら0でない素イデアルは極大、とかも思い出したりした。 ポストモダン解析学のL^p空間についてのところを予習しようとして心が折れ気味です…

G、Hを群とし、f:G→Hとg:H→Gを群準同型とする。fとgが単射のとき、GとHは同型といえるか？ べつに群と群準同型じゃなくてもいいんですが、まぁとにかく気になったので。同型でない例があるとしたら無限群になるわけですが、ぱっとは思い付きません。 線形空…

国立大の入試が始まりました。とりあえず東大の数学を解いたので感想を書きます。 以下ネタバレ注意！

中心極限定理の正確なステートメントを知りたい。

pがつく数はすべて素数とします。 Q(√p_1,√p_2,√p_3,...√p_n)上の多項式x^2-pが既約であるための必要十分条件は、 すべてのiに対してp≠p_iとなること だと思うのですが、どうやって示すのかが皆目見当もつきません。でも直感的には明らかだしなぁ。なにか頭…

「置換*1を互換*2の積*3で表したとき、出てくる互換の個数を2で割ったあまりは一定である」という定理の証明に、差積という式が現れます。n変数多項式で、 Π(x_i-x_j) (1≦i＜j≦nの積) というやつです。これに互換をかますと±が反対になるので、互換の個数の…

ガロア理論の本を読んでます。J.ロットマン「改訂新版 ガロア理論」です。 まだガロアの名前は出てこないんですが、ガロアがまだ年上なうちに終わらせたいところ。 やっぱり代数は面白いなぁ。 あ、こっちで書いてない気がするので書いておきますが、数学科…

三角関数の出てくる問題の採点に時間がかかりすぎる…！ あれはどうも複雑な挙動をするので嫌ですね。

学コン[1][2]を解きました。入手した日にすぐ解くのは久しぶり。2問とも面白い問題でした。 現役の頃とは違って毎日入試問題を解いていないので、最適な解法がスッと出てこない感覚があります。あと、これは本当によろしくないのですが、答案を書くのが下手…

4元体は作れたのに8元体が作れません！

有界かつ(なんか連続性についての条件)な関数の集合はコンパクトらしい。添削してて授業ちゃんと聞いてなかったのでうろ覚え。 でも先生が「3次方程式解ける人？」ってたずねてたのは聞き逃さなかったぞ。

当然のごとく解決済みだと思いますが、この前より根本的な問いを。 S⊂[0,1]を実数の集合とする。S上で不連続、[0,1]/S上で連続となるような関数f:[0,1]→Rが存在するためのSの条件は？

以前書いた「x,yについて連続な関数f(x,y)の不連続点の集合はどこまで大きくなれるか？」という問題が解決しました。1943年に論文が出てたらしいです。芦野さんありがとうございます！ そしたら次は「条件をx,yで偏微分可能にしたら？」とか、「すべての点で…

強風で電車が大変遅れていたのですが、その間ずっと多変数関数の連続性の問題を考えていました。 「全ての点で縦にも横にも連続だけどある点で不連続」は普通に見つかりました。が、「全ての点で縦にも横にも連続だけど全ての点で不連続」みたいなものは見つ…

「川渡り問題」というパズルがあります。Wikipediaから拾ってきますと、 オオカミとヤギを連れキャベツを持った農夫が川岸にいる。川にはボートがあるが農夫の他には動物一頭かキャベツ一個しか乗せられない。農夫がいなければオオカミはヤギを襲うし、ヤギ…

以前書いた疑問が解消されました。縦横にはほとんど連続だけど、全体で不連続な関数は存在するとのことです！ 結構きれいな答えがあるので、お暇な方はぜひぜひ考えてみてください。 パズルネタもあるのですが、図を作る暇がないので明日以降でー。