G、Hを群とし、f:G→Hとg:H→Gを群準同型とする。fとgが単射のとき、GとHは同型といえるか？
べつに群と群準同型じゃなくてもいいんですが、まぁとにかく気になったので。同型でない例があるとしたら無限群になるわけですが、ぱっとは思い付きません。
線形空間と線形写像については、基底の濃度が一意なのでなりたつっぽいですね*1。
位相空間と連続写像についてはなりたたないっぽいです。X=[-1,1]、Y=(-1,1)でRの普通の位相を考えて、f(x)=g(x)=x/2とおくと、fとgは連続単射ですがXとYは同相ではありません。
