ひとりにしてくれについて

ひとくれはサイズN×Nの盤面で1〜Nまでの数字を使うようになっています。
しかし、ひとくれを作っていて、最後の穴埋めで詰まることは多々ありますね。穴埋め用の数字も含めて1〜Nまでで足りるかどうかは、明らかではない気がします。

問題をちゃんとした形にしますと、こんな感じでしょうか。

N×N行列A=(a_{ij})があります。
このとき、どんなAに対しても、次の条件を満たすN×N行列B=(b_{ij})が存在するといえるでしょうか？
(1)b_{ij}は整数で、1≦b_{ij}≦N
(2)a_{ik}=a_{il}⇔b_{ik}=b_{il}
(3)a_{kj}=a_{lj}⇔b_{kj}=b_{lj}

これで十分なのかはよくわかりません。
なんか無駄なことをしてる気もしますが、数式にしたら満足したので今はここまで。

(追記)
反例見つけました。
1 1 1
2 3 4
2 4 4
とかどうでしょう。