実力試験

数学

今日は実力試験でしたので、数学の問題をアップロードしたいと思います。何か問題があるようでしたら削除しますので連絡ください。

試験時間：60分


１．次の各問を解き、右の解答欄(編注：省略)に答えを記入せよ。(計算欄は採点外)
(1)２次方程式　x^2-4x+1=0の二つの解をα、βとすると、
　①α^3=〔ア〕α-〔イ〕
　②α^3、β^3=を２解とする二次方程式はx^2-〔ウ〕x+〔エ〕=0である。(数値を入れる)


(2)①a_1=1, a_{n+1}-a_n=2nで定義される数列{a_n}の一般項はa_n=〔オ〕
　②a_1=1, a_2=2, a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0で定義される数列{a_n}の一般項はa_n=〔カ〕


(3)０≦θ≦\frac{\pi}{2}のとき、f(\theta)=sin^2\theta+sin\theta cos\theta+4cos^2\thetaの最大値は〔キ〕、最小値は〔ク〕である。


(4)平行四辺形ＯＡＢＣにおいて辺ＡＢを１：２に内分する点をＤとし、線分ＯＤと対角線ＡＣとの交点をＥとする。以下の空欄に適当な数値を入れよ。
　①\vec{OD}=〔ケ〕\vec{OA}+〔コ〕\vec{OB}
　②３点Ｏ，Ａ，Ｃをxy平面上の点とし、それぞれＯ（０，０）、Ａ（６，０）、Ｃ（２，４）とすると点Ｅの座標は（〔サ〕，〔シ〕）である。
　③ ②の条件の下で点Ｃから線分ＯＤに下した垂線の足Ｈの座標はＨ（〔ス〕，〔セ〕）である。


(5)ｘ、ｙについての不定方程式xy=3x-2y+12は(x+〔ソ〕)(y-〔タ〕)=〔チ〕と変形できる。よって、個の方程式の整数解の組は〔ツ〕組ある。そのうちx,yともに自然数であるものは(x,y)=〔　　　　テ　　　　　　　〕である。


(6)２次関数y=ax^2+bx+cのグラフが２つの点（−２，−１）、（２，３）を通るとき、頂点のx座標をaだけであらわすと、x=〔ト〕となり、このx座標が−２より小さいとき、aの範囲は
　〔ナ〕＜a＜〔ニ〕である。



２．０≦q≦２とする。すべてのxに対して、
　　　　sin^2x-2q sinx+4-p^2 \geq 0
　　となるような条件を満たすp,qについて答えよ。
　(1)点(p,q)の領域Ｄを図示せよ。
　(2)p^2+q^2の最大値Ｍ及びそのときの(p,q)を求めよ。


３．y=x^3…①のグラフ上に点Ｐ(\alpha,\alpha^3) 　(\alpha<0)をとり、Ｐで①のグラフに接線を引き、①のグラフと再び交わる点をＱ(\beta,\beta^3)とする。同様にＱで引いた接線と①のグラフが交わる点をＲとする。また、①のグラフとＰで引いた接線の囲む図形の面積をＳ、①のグラフとＱで引いた接線の囲む図形の面積をＴとおく。
　(1)Ｐにおける接線の方程式を求めよ。また、βをαを用いて表せ。
　(2)Ｓをαで表せ。
　(3)ＴはＳの何倍か。

一応出題範囲の表を。
１．
(1)Ⅰ・二次方程式、式の扱い
(2)Ｂ・数列
(3)Ⅱ・三角関数
(4)Ｂ・ベクトル
(5)Ⅰ・整数*1
(6)Ⅰ・二次関数、不等式
２．ⅡⅠ・三角関数、二次関数、領域
３．Ⅱ・微積分

さて、解いた感想。「Ｂ**」とかは感覚でつけていますが、記号の意味は大数の難易表と同じで、アルファベットは難度(Ａが簡単、Ｄは難しい)、*一個で10分ぐらい、ということです。
１．…小問なのに結構計算が重ったるい出題だった。A〜B、***
２．…sinxの置換、軸の位置での分類など、やることが多い。なんか無駄に時間を食った。(2)は答えが二つ出る事に気付なかったから普通に減点されると思う。B**
３．…難解な議論は必要ない、素直な出題。(2)の積分計算でミスらなければどうにかなる？B**


こんな感じかなぁ。全体で*７つ、つまり70分になってるのは秘密です。でもこれは量が多くてセンターみたいだなぁ。

*1:整数がⅠでいいのかは謎

今日の感想

雑記

数学に関しては上に書いた通りで、時間が少なくてまんまセンター試験だなぁってのが正直な感想です。
ということで、他の科目について。


・国語
手応えが感じられない…
漢字は完璧だったと思う。
まぁ解答欄は全部埋めたからどうにかなるか？


・英語
文法は今までのどの試験よりも出来た気がする。
リーディングは、"debt"を最初正しく「借り」だと分かってたのに、なにを思ったか別の言葉に書き直してしまった。あぁ…


そういえば、昨日ピンと来て意味を調べておいた"make sense"が出ていてびっくり。こんなこともあるんだなぁ。