実力試験
今日は実力試験でしたので、数学の問題をアップロードしたいと思います。何か問題があるようでしたら削除しますので連絡ください。
試験時間:60分
1.次の各問を解き、右の解答欄(編注:省略)に答えを記入せよ。(計算欄は採点外)
(1)2次方程式 の二つの解をα、βとすると、
①α〔ア〕α-〔イ〕
②α、βを2解とする二次方程式は〔ウ〕〔エ〕である。(数値を入れる)
(2)①で定義される数列の一般項は〔オ〕
②で定義される数列の一般項は〔カ〕
(3)0≦θ≦のとき、の最大値は〔キ〕、最小値は〔ク〕である。
(4)平行四辺形OABCにおいて辺ABを1:2に内分する点をDとし、線分ODと対角線ACとの交点をEとする。以下の空欄に適当な数値を入れよ。
①=〔ケ〕+〔コ〕
②3点O,A,Cを平面上の点とし、それぞれO(0,0)、A(6,0)、C(2,4)とすると点Eの座標は(〔サ〕,〔シ〕)である。
③ ②の条件の下で点Cから線分ODに下した垂線の足Hの座標はH(〔ス〕,〔セ〕)である。
(5)x、yについての不定方程式は〔ソ〕〔タ〕〔チ〕と変形できる。よって、個の方程式の整数解の組は〔ツ〕組ある。そのうちx,yともに自然数であるものは(x,y)=〔 テ 〕である。
(6)2次関数のグラフが2つの点(−2,−1)、(2,3)を通るとき、頂点の座標をだけであらわすと、〔ト〕となり、この座標が−2より小さいとき、の範囲は
〔ナ〕<<〔ニ〕である。
2.0≦≦2とする。すべてのに対して、
となるような条件を満たすについて答えよ。
(1)点の領域Dを図示せよ。
(2)の最大値M及びそのときのを求めよ。
3.…①のグラフ上に点P をとり、Pで①のグラフに接線を引き、①のグラフと再び交わる点をQとする。同様にQで引いた接線と①のグラフが交わる点をRとする。また、①のグラフとPで引いた接線の囲む図形の面積をS、①のグラフとQで引いた接線の囲む図形の面積をTとおく。
(1)Pにおける接線の方程式を求めよ。また、βをαを用いて表せ。
(2)Sをαで表せ。
(3)TはSの何倍か。
一応出題範囲の表を。
1.
(1)Ⅰ・二次方程式、式の扱い
(2)B・数列
(3)Ⅱ・三角関数
(4)B・ベクトル
(5)Ⅰ・整数*1
(6)Ⅰ・二次関数、不等式
2.ⅡⅠ・三角関数、二次関数、領域
3.Ⅱ・微積分
さて、解いた感想。「B**」とかは感覚でつけていますが、記号の意味は大数の難易表と同じで、アルファベットは難度(Aが簡単、Dは難しい)、*一個で10分ぐらい、ということです。
1.…小問なのに結構計算が重ったるい出題だった。A〜B、***
2.…sinxの置換、軸の位置での分類など、やることが多い。なんか無駄に時間を食った。(2)は答えが二つ出る事に気付なかったから普通に減点されると思う。B**
3.…難解な議論は必要ない、素直な出題。(2)の積分計算でミスらなければどうにかなる?B**
こんな感じかなぁ。全体で*7つ、つまり70分になってるのは秘密です。でもこれは量が多くてセンターみたいだなぁ。
*1:整数がⅠでいいのかは謎