11日

代数でした。群のはなしが終わって環のはなしへ。使った定義は「単位元をもつ可換とは限らない環」でした。
環準同型の定義で、和と積を保つほかに単位元が単位元に移ることが必要だといっていました。で最初は、たしかにそうしないと零写像とかも準同型に入っちゃって気持ち悪いよなー、とか思っていたわけです。が、よく考えると、和と積を保つという条件だけから「Im(f)はf(1)を単位元とする環となる*1」ことがいえるようなので、じゃあなんで単位元を保たないといけないのかがわからなくなってきました。たとえば準同型定理とかも成り立ちそうだし。
もちろん、単位元までこめて環の構造なのでしょうから、単位元を保つことが準同型の定義にはいっていることに異存はありません。でも、それを定義に入れておかなかったひとが、どこで議論に詰まるのかが気になっています。

*1:f(1)≠1かもしれませんが