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フビニの定理を習った辺りで疑問に思って、結局わからなかった問題を書いておきます。

f(x,y)を適当な範囲(かりに0≦x≦1,0≦y≦1としておきます)で定義された関数とします。
xを上の範囲でひとつ固定して、x_0としたとき、yの関数g(y)=f(x_0,y)の不連続点の集合はゼロ集合*1となります。
yを固定したときも同様に、xの関数h(x)=f(x,y_0)の不連続点の集合はゼロ集合となります。
このとき、f(x,y)の不連続点の集合はゼロ集合といえるでしょうか？

縦横に連続だからといって、その点で連続とは限らないわけで、反例はありそうなんだけど…？

*1:この単語は業界で普通に使われるのかよく分からない…