七夕です

ということで、7/7にちなんだ小ネタを。
中学受験でやった問題に出てきたので、知ってる人は知ってるかも。

2桁の整数を考えて、十の位と一の位の積をとります。積が2桁になったら、これを繰り返します。
すると最終的には1桁になるので、そこまでに何回掛け算をしたかをカウントしましょう。
例えば、88→64→24→8なので、88だと3回ですね。さて、この回数が最大になる数はいくつでしょうか。

3桁ではどうか、それ以上では？というのも考えてみると面白そう。
あと余談ですが、去年の大数の読者コーナーで、「nを2から9までの整数、mを2以上の整数とする。上のように各位の積をとっていったとき、n^m→(略)→nとなるのは(n,m)=(8,2)以外にあるか？*1」というのがありましたね。

(1646追記)ちょっと修正。

*1:若干表現を変えています