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学校でこんな問題が流行っていた。

四角形ABCDについて、∠ABD=20°,∠CBD=20°,∠ACB=30°,∠ACD=50°である。このとき、∠DACを求めよ。

まぁ私自身はこの手の問題は好きではないのだが、それはともかくとして、ここで注目したいのが「大学への数学」5月号の学力コンテストの解説プリントだ。それによると、四角形の辺と対角線との角度４つが与えられていて、残りの一つを求めさせる問題について、「(与えられた)４つの角がすべて10°の倍数のときは初等幾何的に解ける」(!)ことが知られているらしい。ちなみに、この問題のことを「ラングレーの問題」というとか。
関数電卓とかを使って計算すれば答えは出るが、ぜひ初等幾何で解いてみたい問題の一つだ。

インターネットでこれについて調べてみると、いろいろと角度を変えた問題が載っているサイトがあって、危うくネタバレするところだった。危ない。