フィルオミノ数

問い:ある自然数(nをいくつかの自然数の和で表すことを考える。このとき、同じ自然数が連続しないような表しかたの総数をとおく。
例えば、なので、となる。1+1+2や2+2などは同じ自然数(それぞれ1と2)が連続しているので数えない。
また、nを上のような方法で和で表したとき、一番左にくる数がmであるような表しかたをとおく。である。
このとき、
(1)(1≦k≦6)を求め、を求めよ。
(2)を求めよ。
(3)を求めるためのアルゴリズム(計算方法)を考えよ。

「フィルオミノ」というパズルがあります。盤面をいくつかのブロックに分けていくパズルです。
このパズルのルールに、「同じ面積のブロックは隣り合ってはならない」というのがあります。
これにしたがって、1×nの廊下を区切る方法は幾通りあるかを考えたのがこの問題です。

お分かりでしょうが、の「F」はフィルオミノの頭文字の「F」です。