相加相乗

n個の変数での相加相乗平均の不等式を示すのはなかなか難しい。
・1個、2個のときを示す
・k個のとき成り立てば2k個のときも成り立つことを示す……?
・k個のとき成り立てばk-1個のときも成り立つことを示す……?

以上から帰納的に成立する、と言えます。
なぜなら、?から「2^n個のとき成立」が言えます。
よって、どんな自然数mに対してもそれより大きい2^nが存在するので、そのとき成立することが言えます。
そこで、?を使って2^nからひとつずつ降りていくことで、m個でも成立する、と分かります。
まぁ、飛び飛びの値での成立が先に分かって、そこから降りていく、と言う特別な帰納法ですね。

?を示すのはなかなか難しいですね。
k個の変数a(i)(iは自然数、1≦i≦k)に対して成立すると仮定します。このとき、変数a(k)を残りのk-1個の数の平均*1だとして元の式に代入するとうまく行きますよ。
あぁ分かりづらい文章だなぁ。

*1:相加平均のほうが楽ですね