受付の目の前の部屋って致命的なんですけど！！！

F:U(⊂R)→R^2を、F(x)=(x,1/d(x,∂U))で定めると、これが像への同相写像になっていて、しかも像は閉集合ゆえ完備、というのはどうでしょうか(というコメントを某所につけようと思ったけどアレだったのでここに書きます)。